Uwagi do studium na temat prawa Engela | Zastosowane ekonometria

Poniższy artykuł zawiera notatkę do studium na temat funkcji Engela w ekonomii.

Prawa Engela:

Zależność między całkowitymi wydatkami na konsumpcję a wydatkami na konkretną pozycję w danym momencie w przykładowych gospodarstwach domowych jest znana jako Funkcja Engela lub Krzywa Engela.

Empiryczne wyniki badań przeprowadzonych przez Engela [Ernst Engel był niemieckim statystykiem] zostały opublikowane w 1895 r. Zaletą podjęcia badań przekrojowych jest to, że ceny towarów będą stałe w różnych gospodarstwach domowych w danym momencie.

Z tego powodu związek między wydatkami ogółem a wydatkami na konkretną pozycję poniesionymi przez rodziny przekrojowe zostałby empirycznie zbadany w celu zbadania modeli konsumpcji. Innymi słowy, popyt na określone pozycje przez rodziny przekrojowe zostałby zbadany w celu zbadania wrażliwości wydatków konsumpcyjnych na określoną pozycję na zmiany wydatków ogółem.

Zgodnie z prawem Engela „Udział całkowitych wydatków na artykuły żywnościowe maleje wraz ze wzrostem wydatków ogółem [stanowiących przybliżenie dochodów]”.

To prawo można zrozumieć z poniższej tabeli:

Zasadniczo liczba przedmiotów do zakupu rośnie wraz ze wzrostem dochodów. Jeśli poziom dochodu jest niski, zakupiony zostanie tylko jeden przedmiot, a odsetek całkowitych wydatków poniesionych na przedmiot będzie stały. Jeżeli dochód będzie nadal rósł, gospodarstwa domowe kupiłyby dodatkowe przedmioty. Wówczas odsetek całkowitych wydatków na pierwszą pozycję stopniowo spada.

Odsetek całkowitych wydatków na dany przedmiot (który może być niezbędny lub luksusowy) spada / wzrasta lub pozostaje stały wraz ze wzrostem całkowitych wydatków. W ten sposób widać różnice w wydatkach w gospodarstwach domowych. Chociaż wydatki konsumpcyjne na produkty zmieniają się z gospodarstwa domowego na gospodarstwo domowe, ceny towarów stojących w przekroju gospodarstw domowych byłyby zasadniczo stałe.

W analizie ekonomicznej różnice w wzorcach konsumpcji gospodarstw domowych można wytłumaczyć różnicami w całkowitych wydatkach, [które są sumą wydatków na żywność i produkty nieżywnościowe.] Wszelkie różnice w wzorcach konsumpcji, których nie tłumaczy zmiany całkowitych wydatków można przypisać czynnikom pozagospodarczym, takim jak zmiany smaku.

Jednym z głównych powodów takich zmian w smaku są różnice w wielkości rodziny. Dlatego należy dostosować się do zmian wielkości rodziny w gospodarstwach domowych, aby uwzględnić wpływ wielkości rodziny wraz z innymi ważnymi niezależnymi zmiennymi na wydatki konsumpcyjne.

Zgodnie z drugim prawem Engela udział całkowitych wydatków na odzież i mieszkanie będzie w przybliżeniu stały [stabilny] wraz ze wzrostem całkowitych wydatków.

To prawo można zrozumieć z poniższej tabeli:

Zgodnie z trzecim prawem Engela odsetek całkowitych wydatków na rekreację rośnie wraz ze wzrostem całkowitych wydatków.

To prawo można zrozumieć z poniższej tabeli:

Zależność między całkowitymi wydatkami a wydatkami na konkretną pozycję [żywność lub żywność] określa się jako funkcję Engela lub prawo Engela lub krzywą Engela.

Funkcję Engela można wyrazić następująco:

Y = f [X]

Gdzie,

Y = wydatki na konkretny artykuł - [artykuł spożywczy lub nieżywnościowy]

X- wydatki ogółem [wskaźnik zastępczy dochodu]

Zmiana Y spowodowana zmianą X dla konkretnego przedmiotu jest określana jako krańcowa skłonność do konsumpcji. Jest to również znane jako efekt marginalny.

Reaktywność Y na zmiany X jest określana jako elastyczność Y względem X, znana jako elastyczność Engela. Czasami znak i rozmiar elastyczności Engela będą brane pod uwagę przy klasyfikowaniu towarów / towarów do potrzeb, luksusów itp.,

Formy krzywych Engela:

W pracach ekonometrycznych elastyczności Engela szacuje się, dopasowując różne formy równań regresji [Krzywe Engela] do danych przekroju.

Najważniejsze formy modeli regresji [Funkcje Engela] w badaniach empirycznych to:

1. Liniowy

2. Semi-log

log Y na X

Y w dzienniku X

3. Funkcja zasilania

lub log-liniowy

lub podwójny dziennik

lub model stałej elastyczności

4. Kwadratowy

5. Cubic

6. Odwrotny

7. Log-inverse

Model regresji liniowej:

Specyfikacja prostej liniowej [pierwszego stopnia, tj. Y = b 0 + b 1 X1 + błąd] formy engela będzie następująca:

Y = b 0 + b 1 X + błąd (1)

Pochodna [Jak zmienia się zmienna zależna (Y) dla niewielkiej zmiany zmiennej niezależnej (X)] Y w odniesieniu do X, dY / dX wynosi b 1, co jest krańcową skłonnością do konsumpcji. To będzie stałe i mniej niż jedność.

Elastyczność Engela [e yx ] będzie oceniana przy średnich [średnich] wartościach Y i X w następujący sposób:

e yx = dY / dX * Średnia z X / Średnia z Y

= b 1 * Średnia X / Średnia Y

Dlatego wartość tę określa się jako średnią elastyczność Y względem X. Czasami elastyczność Engela będzie oceniana przy różnych wartościach X i Y. Dlatego elastyczność oszacowana na podstawie modelu regresji liniowej będzie zmienna. Jeśli wartość e YX jest większa niż jedność, wówczas Y / X [stosunek wydatków i-tej pozycji do wydatków ogółem] rośnie wraz ze wzrostem wydatków ogółem.

Jeśli jest mniejszy niż jedność, Y / X maleje wraz ze wzrostem całkowitych wydatków. Jeśli jest to jedność, wówczas stosunek Y do X [Y / X] będzie stały wraz ze wzrostem całkowitych wydatków. Elastyczność Engela będzie bezpośrednio związana ze wzrostem całkowitych wydatków, wszystkie pozostałe są równe i odwrotnie związana ze wzrostem wydatków na i-tą pozycję, wszystkie pozostałe będą równe.

Jeżeli forma liniowa równania regresji [Liniowa krzywa engela] nie zostanie uznana za odpowiednią do obserwacji przekroju, wówczas należy dopasować inne formy równań regresji [modele]. Spośród różnych form równań regresji [krzywe Engela] półlogarytmiczna regresja jest szeroko dopasowana do danych przekroju.

Model regresji półlogowej:

Specyfikacja półlogu [jedna z dwóch zmiennych [Y lub X] będzie w formie logu] w postaci funkcji engela będzie następująca:

[i] log Y = b 0 + b 1 X ………. (2)

Pochodna logarytmu Y w odniesieniu do X

[d log Y / dX = dY / Y / dX / 1 = dY / dX * 1 / Y], b 1 pokazuje proporcjonalną zmianę Y dla zmiany jednostki w X.

Szybkość zmiany Y na jednostkę zmiany w X,

dY / dX = b 1 Y, jest mpc [efekt marginalny]

Elastyczność Engela na podstawie tej funkcji zostanie oszacowana w następujący sposób:

e YX = dY / dX * X / Y = b 1 Y. X / Y = b 1 X

Zatem mpc jest niezależna od zmian w X, a elastyczność jest niezależna od zmian w Y. Dlatego zarówno mpc, jak i elastyczność engela są zmienne w modelu regresji log Y na X.

[ii] Y = b 0 + b 1 log X …………… .. (3)

Pochodna Y w odniesieniu do log X,

[dziennik dY / d X = dY / 1 / dX / X = dY / 1 / dX / X = dY / dX / X / 1], b 1, pokazuje szybkość zmiany Y na proporcjonalną zmianę X.

Szybkość zmiany Y na jednostkę zmiany w X [mpc] wynosi:

dY / dX = b 1 / X

Elastyczność Engela na podstawie tej funkcji zostanie oszacowana w następujący sposób:

e YX = dY / dX.X / Y = b 1 / Y

Zatem zarówno elastyczność mpc, jak i engel są zmienne.

Jeśli ta forma równania regresji do przekroju nie jest odpowiednia, należy spróbować zastosować inne formy równań.

Model regresji z podwójnym logiem [funkcja zasilania]:

Funkcja Power, znana również jako model podwójnej logarytmicznej lub logarytmicznej liniowej lub stałej elastyczności, jest popularna w badaniach empirycznych, ponieważ współczynnik regresji zmiennej niezależnej bezpośrednio zapewnia nam stałą elastyczność Engela, jak pokazano poniżej:

Y = b 0 Xb1 ………………. (4)

Pochodna Y w odniesieniu do X,

dY / dX = b 1 Xb1-1

= b 1 b 0 Xb1 X-1

= b 1 * b 0 Xb1 / X

= b 1 * Y / X, to mpc, który zmienia się wraz ze zmianą Y lub X.

Elastyczność engela z tej funkcji jest stała, jak pokazano poniżej:

dY / dX.X / Y = b 1 Y / XX / Y = b 1

Zatem elastyczność Engela jest niezależna od zmian w X i Y.

Aby oszacować metodą OLS, powyższa funkcja Power zostanie przekształcona w logarytmiczną formę liniową [znaną jako double log], jak pokazano poniżej:

log Y = log b 0 + b 1 log X ……………. (5)

Pochodna log Y w odniesieniu do log X [znana jako elastyczność engela],

dlog Y / dlog X = dY / Y / dX / X

= dY / YX / dX = dY / dX.X / Y, to b 1

która jest stała. Jeśli funkcja ta nie zostanie uznana za odpowiednią dla punktów danych przekroju, należy wypróbować inne formy równań regresji [funkcje Engela].

Inną formą równania regresji, którą można dopasować do danych przekroju w celu oszacowania elastyczności Engela, jest kwadratowa postać równania regresji.

Model regresji kwadratowej [model regresji wielomianowej drugiego stopnia]:

Specyfikacja kwadratowej [kwadratu zmiennej niezależnej [X] wraz z X jest brane pod uwagę] postać funkcji engela będzie następująca:

Y = b 0 + b 1 X - b 2 X2 ……………………… .. (6)

Lub

Y = b 0 - b 1 X + b 2 X2 ………………………… (7)

Pochodna Y w odniesieniu do X,

dY / dX = b 1 - 2 b 2 X 2-1

= b 1 - 2 b 2 X, jest wartością mpc, która zmienia się wraz ze zmianą X. Jeśli znak współczynnika regresji X, b 1, jest dodatni lub ujemny, wówczas współczynnik regresji X 2, b 2, będzie być negatywne lub pozytywne. Zatem mają przeciwne znaki.

Elastyczność Engela [e YX ] zostanie oszacowana w następujący sposób:

e YX = dY / dX.X / Y = b 1 - 2 b 2 X. X / Y

= b 1 X - 2 b 2 X2 / Y

Zatem elastyczność Engela w kwadratowej postaci równania jest również zmienna. Jeśli znaki b i b są zupełnie przeciwne [+ i - lub - i +], wówczas otrzymujemy albo odwróconą krzywą w kształcie „U”, albo krzywą w kształcie „U”.

Jeśli równanie kwadratowe nie zostanie uznane za odpowiednie dla punktów danych przekroju, należy spróbować zastosować inne formy modeli regresji.

Model regresji sześciennej [Model regresji wielomianowej trzeciego stopnia]:

Specyfikacja modelu regresji sześciennej [z wyższymi mocami zmiennej niezależnej] będzie następująca:

Y = b 0 + b 1 X - b 2 X2 b 3 X3 ……………… (8)

Pochodną Y w odniesieniu do X (mpc) jest:

dY / dX = b 1 X1-1 - 2b 2 X2-1 + 3b 3 X3-1

= b 1 - 2b 2 X + 3b 3 X2

Elastyczność engela na podstawie tego modelu zostanie oszacowana w następujący sposób:

e yx = b 1 - 2b 2 X + 3b 3 X2. X / Y

= b 1 X - 2b 2 X2 + 3b 3 X3. 1 / Y

Model regresji odwrotnej [wzajemnej]:

Specyfikacja odwrotnej [niezależnej zmiennej [X] wchodzi odwrotnie [1 / X lub X-1] w modelu] w postaci funkcji engela będzie następująca:

Y = b 0 + b 1 [1 / X]

Lub

Y = b 0 + b 1 X-1 ………… (9)

Pochodna Y w odniesieniu do X [mpc],

dY / dX = (-1) b 1 X -1-1 = - b 1 X-2, jest - b 1 / X2

Elastyczność engela na podstawie tego modelu zostanie oszacowana w następujący sposób:

e yx = dY / dX * X / Y = - b 1 / X2 / * X / Y = - b 1 / XY

Jeśli znak współczynnika regresji 1 / X, b 1, jest dodatni, wówczas oznaki mpc i elastyczności Engela będą ujemne. Jeśli znak współczynnika regresji 1 / X, b 1 jest ujemny, wówczas oznaki mpc i elastyczności Engela będą dodatnie.

Jeżeli model regresji odwrotnej [odwrotnej] nie zostanie uznany za odpowiedni do danych przekrojowych, wówczas należy wypróbować inne formy równań regresji [Funkcje Engela].

Model regresji odwrotnej logów:

Specyfikacja logarytmu odwrotnego [Zmienna zależna [K] wchodzi w postać logu, a zmienna niezależna [X] wchodzi w odwrotną postać [1 / X lub X-1]] engel będzie następująca:

log Y = b 0 + b 1 1 / X

lub

log Y = b 0 + b 1 X-1 …………… (10)

Pochodna Y w odniesieniu do X [mpc] to:

d logY / dX = - 1. b 1 X -1-1 = - b 1 X-2

dY / Y.1 / dX = -b 1 X-2

dY / dX 1 / Y = - b 1 X -2 = - b 1 / X2

dY / dX = - b 1 Y / X2

Elastyczność engela na podstawie tego modelu zostanie oszacowana w następujący sposób:

e yx = dY / dX.X / Y = - b 1 Y / X2. X / Y = - b 1 / X

Zatem mpc zmienia się wraz ze zmianą X i Y, a elastyczność engela zmienia się tylko ze zmianą X. W przypadku funkcji log również, jeśli znak współczynnika regresji 1 / X, b 1, jest ujemny lub dodatni, wówczas oznaki mpc i sprężystości będą dodatnie lub ujemne. Jeśli chodzi o prostą funkcję engela, dyskusja ogranicza się do oszacowania elastyczności wydatków na i-tą pozycję tylko w odniesieniu do wydatków ogółem.

Ale w praktyce całkowite wydatki nie są jedynym czynnikiem wpływającym na wydatki na i-ty przedmiot, ale także na wielkość rodziny.

Dlatego zarówno całkowite wydatki, jak i wielkość rodziny należy uznać za niezależne zmienne w funkcji Engela [funkcja wielokrotnego Engela] w celu oszacowania częściowej elastyczności wydatków na i-tą pozycję w odniesieniu do całkowitych wydatków i wielkości rodziny [w jednostkach dorosłych mężczyzn]. W badaniach empirycznych zarówno dane liniowe, jak i podwójne logi krzywych engela są dopasowywane do danych przekroju.

Procedura wymagana do oszacowania efektów krańcowych i procentowych jest wyjaśniona poniżej:

Model wielokrotnej regresji liniowej:

Specyfikacja wielu liniowych funkcji engela [z dwiema zmiennymi niezależnymi] będzie następująca:

Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + e ……………………. (11)

Gdzie

Y = Wydatki na i pozycję

X 1 = Wydatki ogółem [Pełnomocnik do spraw dochodów]

X 2 = Wielkość rodziny mierzona w jednostkach dla dorosłych mężczyzn

e = zmienna losowa [termin błędu przy zwykłych założeniach]

Częściowa pochodna Y w odniesieniu do X 1 [utrzymanie stałej X 2 ],

∂Y / ∂X 1 = b 1 to mpc, które jest stałe.

Częściowa pochodna Y w odniesieniu do X 2 [Utrzymanie stałej X 1 ],

∂Y / ∂X 2, = b 2 [stała] to szybkość zmiany Y na jednostkę zmiany w X 2 [utrzymanie stałej X 1 ]

Elastyczności Engela [e Y.X1 i e y.X2 ] z wielokrotnej regresji liniowej oblicza się w następujący sposób:

Częściowa elastyczność Y w stosunku do całkowitych wydatków,

e y x1 = ∂Y / ∂X 1 . X 1 / Y = b 1 * X 1 / Y

Elastyczność Y w stosunku do wielkości rodziny,

e y X2 = ∂Y / ∂X 2 . X 2 / Y = b 2 * X 2 / Y

W badaniach empirycznych elastyczności wydatków są oceniane przy średnich wartościach Y, X 1 i X 2 .

Dlatego średnia elastyczność Y w stosunku do całkowitych wydatków będzie następująca:

e y x1 = b 1 * średnia X 1 / średnia Y

e Y.x2 = b 2 * średnia X 2 / średnia Y

Jeśli równanie regresji liniowej nie pasuje do danych przekroju, należy spróbować zastosować inny model regresji.

Model regresji liniowej z wieloma logami:

W badaniach empirycznych powszechnie stosuje się funkcję mocy, która jest również określana jako model regresji podwójnej logarytmicznej, logarytmiczno-liniowej i stałej regresji, ponieważ współczynniki regresji zmiennych niezależnych [X 1 i X 2 ] bezpośrednio dają stałe sprężystości.

Specyfikacja funkcji wielokrotnego zasilania będzie następująca:

Y = b 0 X 1 b1 X 2 b2 ……………… (12)

Częściowa pochodna Y w odniesieniu do X 1 wynosi

∂Y / ∂X = b 1 b 0 Xb1-1 X 2 b2

= b 1. b 0 X b1 X 2 b2 .X 1 -1

= b 1 b 0 X b1 X 2 b2 .1 / X 1

= b 1 T / X 1

Jest to określane jako MPC i zmienia się wraz ze zmianami w Y i X 1 .

Reaktywność Y w odniesieniu do X 1, która jest stałą elastycznością, zostanie wyrażona w następujący sposób:

e y.x1 = ∂Y / ∂X 1 X 1 / Y

= b x Y / X 1 X 1 / Y = b 1

Częściowa pochodna Y w odniesieniu do X 2 wynosi

∂Y / ∂X = b 2 b 0 X 1 b1 X 2 b2-1

= b 2 . b 0 Xb1 X 2 b2.X 2 -1

= b 2 b 0 X 1 b1 X 2 b2. 1 / X 2

= b 2 T / X 2

Jest to określane jako szybkość zmiany Y na zmianę jednostki w X 2 i zmienia się wraz ze zmianami w Y i X 2 .

Reaktywność Y w odniesieniu do X 2 będzie wyrażona w następujący sposób:

e y.x2 = ∂Y / ∂X 2 * X 2 / Y

= b 2 T / X 2 . X 2 / Y = b 2, który również jest stały.

W celu oszacowania metodą zwykłych najmniejszych kwadratów powyższą funkcję mocy przekształca się w model log-liniowy w następujący sposób:

log Y = log b 0 + b 1 log X 1 + b 2 log X 2 ………………. (13)

Częściowa pochodna log Y w odniesieniu do log X 1

∂log y / ∂ log X 1

= ∂Y / Y / ∂X 1 / X 1

= ∂Y / Y * X 1 / ∂X 1 = ∂Y / ∂X 1 . X 1 / Y = b 1,

to stała elastyczność wydatków na i-tą pozycję w odniesieniu do wydatków ogółem.

Częściowa pochodna log Y w odniesieniu do log X 2,

d log t / d log X 2

= dY / Y dX 2 / X 2

= dY / Y * X 2 / dX 2

= ∂Y / ∂X 2 * X 2 / Y = b 2,

to także stała elastyczność wydatków na i-ty przedmiot w stosunku do wielkości rodziny. Zatem, zarówno w funkcji mocy, jak i logarytmicznym modelu liniowym, współczynniki regresji całkowitych wydatków i wielkości rodziny są stałymi sprężystościami. Jedną z zalet tego modelu jest to, że suma częściowej elastyczności wydatków w odniesieniu do wydatków ogółem i wielkości rodziny daje wyobrażenie o naturze korzyści skali w wydatkach konsumpcyjnych.

Jeśli suma b 1 i b 2 = 1, wówczas nie będzie korzyści skali w wydatkach na konsumpcję [Liniowa jednorodna funkcja Engela], Jeśli suma b 1 i b 2 > 1, wówczas wystąpią nierówności skali w wydatki na konsumpcję [nieliniowa homogeniczna funkcja Engela]. Jeśli suma b 1 i b 2 <1, to korzyści skali będą związane z wydatkami na konsumpcję [nieliniowa jednorodna funkcja Engela].

Żadna ekonomia skali nie oznacza, że ​​jednoprocentowy wzrost całkowitych wydatków i wielkości rodziny prowadzi do zwiększenia wydatków na i-tą pozycję o ten sam procent.

Rozbieżności skali oznaczają, że wzrost procentowy wydatków ogółem i wielkości rodziny o jeden procent prowadzi do wzrostu wydatków na i-ty przedmiot o więcej niż jeden procent.

Korzyści skali oznaczają, że wzrost procentowy wydatków ogółem i wielkości rodziny o jeden procent prowadzi do wzrostu konsumpcji i-tej pozycji o mniej niż jeden procent.

Funkcja Engel na mieszkańca [Ograniczona funkcja Engela lub liniowa jednorodna funkcja Engela]:

Problem wielokoliniowości między wydatkami ogółem a wielkością rodziny jest dość powszechny. Aby do pewnego stopnia uniknąć tego problemu, w badaniach empirycznych uwzględniona zostanie następująca specyfikacja funkcji Engela na mieszkańca.

[T / X 2 ] = b 0 [X 1 / X 2 ] b1 ……………… .. (14)

Do celów oszacowania powyższy model regresji [funkcja mocy] przekształca się w logarytmiczną postać liniową, jak pokazano poniżej:

log [Y 1 / X 2 ] = log b 0 + b 1 log [X 1 / X 2 ]

log Y - log X 2 = log b 0 + b 1 log X 1 - b 1 log X 2

log Y = log b 0 + b 1 log X 1 - b 1 log X 2 + log X 2

= log b 0 + b 1 log X 1 + [1-b 1 ] log X 2

= log b 0 + b 1 log X 1 + b 2 log X 2

1 - b 1 = b 2

1 = b 2 + b 1

Jeżeli nie wystąpią korzyści skali [∑ (b 1 + b 2 ) = 1], wówczas powyższa specyfikacja na mieszkańca będzie preferowana zamiast modelu regresji logarytmicznej wielokrotnej. Jedną z zalet specyfikacji per capita jest to, że stopień problemu wielokolinearności można do pewnego stopnia zmniejszyć. Jeśli nie wystąpią korzyści skali, model regresji oparty na specyfikacji na mieszkańca nie będzie odpowiedni do danych przekrojowych.

W celu uwzględnienia korzyści skali i braku ekonomii skali w wydatkach konsumpcyjnych preferowana będzie funkcja wielokrotności log-liniowa. Należy zauważyć, że powyższa specyfikacja na mieszkańca jest stosowana tylko wtedy, gdy suma elastyczności wydatków dla i-tej pozycji w odniesieniu do całkowitych wydatków i wielkości rodziny jest jednością.

Oprócz powyższych dwóch niezależnych zmiennych, wielkości rodziny i całkowitych wydatków, inne zmienne, takie jak wiek głowy rodziny, wykształcenie głowy rodziny itp., Mogą być również uwzględnione w funkcji Engela, aby uchwycić ich wpływ na wydatki konsumpcyjne na i-tą pozycję.

Log liniowa funkcja Engela ze zmienną interakcji: Różnicowa elastyczność Engela:

Wpływ zmiennej jakościowej, takiej jak region, edukacja kastowa itp., Wraz z ilościową zmienną niezależną można również skanować w zakresie wydatków na i-tą pozycję poprzez wprowadzenie zmiennej interakcji (iloczyn zmiennej zastępczej [Proxy dla zmiennej jakościowej] i ilościowej zmiennej niezależnej tj. całkowite wydatki) o następującej specyfikacji.

log Y = log b 0 + b 1 D + b 2 log X + b 3 [D * log X] ………… .. (15)

Gdzie

Y = wydatki na i-ty przedmiot [artykuły spożywcze lub nieżywnościowe]

X = Całkowite wydatki na żywność i artykuły nieżywnościowe

D = zmienna manekina, która jest proxy dla zmiennych jakościowych, takich jak edukacja, region, kasta itp., Przyjąłaby 1 w przypadku atrybutu i 0 w przypadku braku atrybutu.

Gdy D = 1, wówczas logarytmiczny model regresji liniowej [funkcja engela] będzie następujący:

log Y = [b 0 + b 1 ] + [b 2 + b 3 ] log X ………………. (16)

Gdzie

Pochodna log Y w odniesieniu do log X to: ∂ log Y / ∂ log X, to stała elastyczność engela, [b 2 + b 3 ], w obecności atrybutu.

b 3 jest różnicową elastycznością Engela, gdy D = 1

jest punktem przecięcia różnicowego, gdy D = 1

Gdy D = 0, wówczas logarytmiczny model regresji liniowej [funkcja engela] będzie następujący:

log Y = b 1 + b 2 log X …………………… .. (17)

Pochodną log Y w odniesieniu do log X, ∂ log Y / ∂ log X, jest elastyczność engela [b 2 ] przy braku atrybutu [D = 0], gdy D = 1, jeśli b 3 jest znacząco dodatnia, wówczas rozmiar elastyczności engel będzie większy w obecności atrybutu w porównaniu do wielkości elastyczności engel przy braku atrybutu. Jeśli b 3 jest znacznie ujemne, wówczas wielkość elastyczności engel będzie mniejsza w porównaniu do wielkości elastyczności engel przy braku atrybutu.

Jeśli b3 nie jest statystycznie nieistotne, to wielkość elastyczności engela będzie identyczna [stabilna lub jednorodna] zarówno w obecności, jak i przy braku atrybutów. To równanie regresji [model] byłoby powszechne w obecności i braku atrybutu. Zatem zmienna interakcji w funkcji engel będzie przydatna w skanowaniu zmiany wielkości [stopnia] elastyczności engel.

Dlatego w badaniach empirycznych zmienną interakcji można rozważyć w zbiorze zmiennych niezależnych. Wraz z pojawieniem się pakietów oprogramowania w ekonometrii, różne formy funkcji engela można łatwo dopasować do danych przekroju. Wybór funkcji Engela do analizy zależy od kryteriów ekonomicznych, statystycznych i ekonometrycznych.

Kryterium ekonomiczne dotyczy znaku i wielkości elastyczności engela. Kryterium statystyczne dotyczy istotności statystycznej współczynników regresji zmiennych niezależnych i dobroci dopasowania. Kryterium ekonometryczne dotyczy głównie problemu heteroscedazowości, ponieważ dane przekroju zostaną wykorzystane do oszacowania elastyczności engela.

Funkcja liniowego Engela i kryterium sumowania:

Jedną z zalet dopasowania liniowego modelu regresji prostej dla artykułów żywnościowych i niespożywczych jest to, że spełnia kryterium sumowania, że ​​suma wydatków poniesionych na wszystkie artykuły powinna być równa wydatkom ogółem [Wydatki ogółem (zastępstwo dochodu) zostanie wyczerpany, jeśli zostanie poniesiony na artykuły żywnościowe i nieżywnościowe]

Jeśli do danych przekroju zostaną dopasowane dwa równania regresji liniowej dla produktów spożywczych i niespożywczych, równania będą następujące:

Y r = b 0 + b 1 X ……………… (18)

Y nf = c 0 + c 1 X …………… .. (19)

Gdzie

Y f = wydatki na artykuły spożywcze

X = wydatki ogółem [suma wydatków na żywność i wydatków innych niż żywność, które wynosi ∑ (Y f + Y nf )], która jest zmienną niezależną w dwóch równaniach

Y nf = Wydatki na artykuły nieżywnościowe

Suma wartości liczbowych b 1 i c 1 [stałe krańcowe skłonności do konsumpcji odpowiednio dla artykułów żywnościowych i niespożywczych] zawsze będzie równa jedności, ponieważ wydatki poniesione na artykuły żywnościowe i nieżywnościowe będą równe wydatkom ogółem.

Należy zauważyć, że stopień niezawodności sprężystości mpc i engel jest bezpośrednio związany ze wzrostem obserwacji przekroju. Oszacowania parametrów elastyczności mpc i engela będą zbliżone do prawdziwych parametrów.

Funkcje Engela - szacunki relacji gospodarczych:

Poniższe dane [Tabela 2.1] dotyczące miesięcznych wydatków na konsumpcję i całkowitych wydatków w rupiach zebranych z dwudziestu pięciu przykładowych gospodarstw domowych są brane pod uwagę w celu oszacowania elastyczności engela poprzez dopasowanie różnych form funkcji engela.

Gdzie,

1. R 2 = [wyjaśniona odmiana / całkowita zmienność] =

∑ (Wartości trendu Y i - Średnia wartość Y) 2 = / ∑ (Rzeczywiste wartości Y - Średnia wartość Y) 2

2. Suma kwadratów reszt = ∑ (Rzeczywiste wartości Y - Wartości trendu Y) 2 = ie i 2

3. Błąd standardowy [SE] regresji = Pierwiastek kwadratowy ∑e i 2 / nk

4. Statystyka Durbina-Watsona (d) = ∑ (e t - e t-1 ) 2 / ∑e t 2

Wyniki prostej liniowej funkcji engela [Tabela 2.2] dopasowanej do danych przekroju pokazują, że współczynnik regresji całkowitych wydatków jest znacząco dodatni.

Wyjaśnia to, że tempo zmian wydatków konsumpcyjnych na artykuły spożywcze na jednostkę zmiany wydatków ogółem [Skrajna skłonność do konsumpcji] jest mniejsze niż jedność. Na podstawie tych szacunków można wywnioskować, że wzrost wydatków o jedną jednostkę prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych na artykuły żywnościowe o 0, 87 jednostki. Ta wartość jest zgodna z teorią.

Średnia elastyczność engela oszacowana przy średnich wartościach Y i X [współczynnik regresji pomnożony przez stosunek średniej wartości X do średniej wartości Y: 0, 871705 * 3820, 840 / 3383.920] wynosi 0, 984. Z tej wartości można wywnioskować, że jednoprocentowy wzrost całkowitych wydatków prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych na artykuły żywnościowe o 0, 984 procent [co jest bliskie jedności], przy czym wszystkie pozostałe są równe.

Wyniki liniowej funkcji logarytmicznej [Tabela 2.4] dopasowanej do danych przekroju [Tabela 2.3] pokazują, że współczynnik regresji całkowitych wydatków log jest znacząco dodatni i jedności.

To jest 1, 002. Jest to znane jako stała elastyczność Engela wydatków na i-tą pozycję w stosunku do całkowitych wydatków. Można z tego wywnioskować, że jednoprocentowy wzrost całkowitych wydatków prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych na artykuły żywnościowe o 1, 02 procent [co jest w przybliżeniu jednością], przy czym wszystkie pozostałe są równe.

Wyniki modelu regresji półlogarytmicznej [Tabela 2.5] dopasowanego do danych przekroju [Tabela 2.3] pokazują, że współczynnik regresji całkowitych wydatków jest znacząco dodatni, a jego wartość wynosi 0, 000272.

Wyjaśnia to, że proporcjonalna zmiana Y na jednostkę zmiany w X wynosi 0, 000272. Wartość mpc [oszacowana przy średniej wartości Y: 0, 000272 * 3383.90] jest mniejsza niż jedność, która wynosi 0, 92. Elastyczność Engela, która wynosi 1, 039 [0, 000272 * 3820, 840 = 1, 039], wyjaśnia, że ​​wzrost wydatków ogółem o jeden procent prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych o 1, 039 procent.

Wyniki modelu regresji półlogarytmicznej dopasowanej do danych przekroju [Tabela 2.6] pokazują, że współczynnik regresji całkowitych wydatków log, szybkość zmiany Y na proporcjonalną zmianę X [b 1 ] jest znacząco dodatnia, tj. 3054, 553 .

Wartość mpc jest mniejsza niż jedność, która wynosi 0, 7994 [3054.553 / 3820.840], elastyczność Engela, która wynosi 0, 9027, [oszacowana przy średniej wartości Y: 3054.553 / 3383.920] wyjaśnia, że ​​wzrost procentowy wydatków o jeden procent prowadzi do wzrostu wydatki konsumpcyjne na i-tą pozycję o 0, 9027 procent.

Wyniki modelu regresji odwrotnej [Tabela 2.8] na podstawie danych podanych w tabeli 2.7 pokazują, że współczynnik regresji MX jest ujemny. Wartość mpc [oszacowana jako kwadrat średniej X: dY / dX = -b 1 / X2 = 7604940 / (3820, 840) 2 = 0, 5] jest mniejsza niż jedność. Elastyczność Engela wynosi 0, 588 [oszacowana jako iloczyn średnich wartości Y i X: 7604940 / [3383.920 * 3820.840].

Z tego można wnioskować, że jednoprocentowy wzrost całkowitych wydatków prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych na artykuły spożywcze o 0, 588 procent. Należy zauważyć, że zarówno elastyczność mpc, jak i elastyczność engela oszacowane na podstawie modelu regresji odwrotnej są stosunkowo mniejsze w porównaniu z oszacowaniami wynikającymi z innych modeli.

Wyniki modelu logarytmicznej regresji odwrotnej [Tabela 2.10] na podstawie danych podanych w tabeli 2.9 pokazują, że współczynnik regresji 1 / X jest ujemny. Wartość mpc [oszacowana jako kwadrat średniej X i średniej Y: 2715.653 * 3383.920) / (3820.840) 2 = 0.62947] jest mniejsza niż jedność.

Elastyczność [oszacowana przy średniej wartości X: 2715.653 / 3820.84] wynosi 0, 717148. Z tego można wywnioskować, że jednoprocentowy wzrost całkowitych wydatków prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych na artykuły spożywcze o 0, 717048 procent, wszystkie pozostałe są równe.

Wyniki modelu regresji kwadratowej [Tabela 2.12] na podstawie danych podanych w tabeli 2.11 pokazują, że współczynnik regresji X jest dodatnio istotny na poziomie jednego procentu, a współczynnik X 2 jest umiarkowanie istotny.

Szacowany mpc [1, 037 - (2 * 0, 0000185 * 3820, 84)] wynosi 0, 8956. Szacowana elastyczność Engela wynosi 1, 011, co jest bliskie jedności. Z tego można wnioskować, że jednoprocentowy wzrost całkowitych wydatków prowadzi do zwiększenia wydatków konsumpcyjnych na artykuły spożywcze o 1, 17 procent.

Punkty danych podane w tabeli 2.13 służą do wykazania, że ​​liniowa funkcja engela spełnia kryterium sumowania.

Wyniki regresji liniowych funkcji engela dopasowanych do artykułów spożywczych [Tabela 2.14] i artykułów niespożywczych [Tabela 2.15] pokazują, że suma stałej mpc dla artykułów spożywczych i stałej mpc dla artykułów niespożywczych [0, 871705 + 0, 128295] jest równa zadowalającej jedności norma sumująca.

Wybór wyników regresji funkcji Engela do analizy, tworzenia polityki i prognozowania zależy od kryteriów ekonomicznych, [Znaków i wielkości współczynników] statystycznych [Błędy standardowe i poprawności dopasowania] oraz ekonometrycznych [Założenia metody OLS].

Funkcje wielokrotne i per capita (liniowe i logarytmiczne) Funkcje Engela:

W celu oszacowania wielu funkcji Engela [zarówno liniowych, jak i logarytmicznych postaci liniowych] stosuje się następujące dane przekroju: miesięczne wydatki na produkty żywnościowe, wielkość rodziny i miesięczne całkowite wydatki.

Wyniki regresji wielokrotnego liniowego modelu Engela na podstawie danych podanych w tabeli 2.16 przedstawiono w tabeli 2.17.

Wyniki regresji pokazują, że współczynnik miesięcznych całkowitych wydatków jest bardzo znaczący i dodatni, a współczynnik wielkości rodziny jest również dodatni, ale umiarkowanie istotny. Zatem dwie zmienne uwzględnione w modelu regresji liniowej wpływają na miesięczne wydatki konsumpcyjne na artykuły spożywcze. Częściowa elastyczność Y względem X1 [ ey.x1 ], utrzymując X2 na stałym poziomie, wynosi 0, 88, co pokazuje, że średnia elastyczność jest mniejsza niż jedność.

Częściowa elastyczność Y w stosunku do X2 [ ey.x2 ], utrzymując X1 na stałym poziomie, wynosi 0, 14, co pokazuje, że średnia elastyczność jest bardzo kikuta. Należy zauważyć, że dwie niezależne zmienne, X1 i X2, poruszają się razem w tym samym kierunku, co prowadzi do problemu wielokoliniowości [korelacja między X1 i X2] Stopień korelacji między XI i X2 można ocenić na podstawie wartości podanych w tabeli 2.18

Stopień korelacji między X1 i X2 jest bardzo gwałtowny, pokazując obecność wysokiej wielokoliniowości między nimi. Aby uniknąć problemu wielokoliniowości, wzięto pod uwagę zmienne wydatków na mieszkańca [zmienne proporcji: Y / X2 i X1 / X2]. Punkty danych dotyczące zmiennych na mieszkańca są generowane i przedstawione w tabeli 2.19. Wyniki regresji funkcji engel na mieszkańca podano w tabeli 2.20

The regression results [ table 2.20] based on per capita specification show that the regression coefficient of monthly per capita total expenditure is positively significant showing that a one unit increase in total per capita expenditure is associated with the increase of 0.86 units in monthly per capita expenditure on food items The average elasticity of per capita expenditure with respect to per capita total expenditure [e Y/x2 x1/x2 ] is 0.97.

It should be noted that the per capita specification can be considered only if there are economies of scale in consumption expenditure despite the fact that there is an advantage of avoiding the problem of multicollinearity between two independent variables. The data given in table 2.16 are considered for fitting the multiple log linear engel function by OLS method. The regression results of the same are given in table 2.21.

The regression results show that the coefficient of total expenditure, constant elasticity of Y with respect to X1, is positively significant and close to unity. The coefficient of family size, constant elasticity of Y with respect to X2, is positive but not significant. In the log linear multiple Engel function the coefficient of family size is positively insignificant. One of the likely reasons for such a perplexing result is the presence of sturdy correlation between X1 and X2 [Table 2.22].

Keeping the evidence of sturdy correlation between X1 and X2 [0.91] in view, the data on log per capita variables are generated [Table 2.23] for fitting per capita engel function. The regression results of the same are presented in table 2.24

The results based on the regression of per capita expenditure on per capita total expenditure [Table 2.24] show that the elasticity of per capita consumption expenditure on food items with respect to per capita total expenditure is positively significant and approximately unity thereby showing that a one percent increase in per capita consumption expenditure on food items leads to increase the per capita consumption expenditure by one percent.

 

Zostaw Swój Komentarz